齿轮机构是用来传递空间任意两轴之间的运动和动力，是目前广泛应用于各种机械设备、车辆、仪表以及自动化生产线中的一种传动机构[1]。三维立体模型的精确建立对于有限元分析和数控加工具有重要意义。齿廓曲线有渐开线、摆线、圆弧很多种，渐开线齿廓以其设计、制造和安装等方面的优越性而被广泛采用[2]。建立齿轮三维立体模型关键是渐开线齿廓的绘制，使用UG NX4中的规律曲线，可以建立精确的渐开线，在此基础上，创建齿轮的模型。
1  渐开线的形成及数学表达式
当直线BK沿半径为Rb基圆作纯滚动时，直线上任一点K的轨迹KA就是该基圆的渐开线，如图1所示渐开线的形成过程。其中θk为渐开线在KA段的展角，k为齿轮的压力角，Rk为渐开线上任意点K的向径。由图1知

图1  渐开线形成


渐开线的极坐标方程为

UG中规律曲线能识别的是直角坐标，所以将上式转化为参数方程[3]
：t为UG系统变量，90度内的渐开线
s = 1/2π﹡Rb  ﹡t：临时变量

2  UG NX4环境建立齿轮的步骤
2.1利用UG表达式输入齿轮各参数。
2.2利用齿顶圆半径、尺宽拉伸建立齿轮的齿胚。
2.3使用规律曲线建立90度范围内的渐开线齿廓曲线。注意渐开线一定存在于基圆与齿顶圆之间，不一定存在于齿根圆与齿顶圆之间。如果齿根圆半径小于基圆半径，则齿根圆与基圆之间不存在渐开线，可以用样条曲线近似该段渐开线或线性延长渐开线即可，用样条曲线近似代替时，要将渐开线与样条曲线连接。使用修剪曲线功能，得到齿根圆与齿顶圆之间的一段曲线。
2.4连接坐标原点与渐开线和分度圆的交点建立一直线，将该直线绕原点旋转-90/z度，z为齿轮的齿数，得到一镜像线，使用transform中的镜像变换建立齿槽轮廓的另一条曲线。以这两条曲线为边界裁剪齿顶圆与齿根圆，得到齿槽的轮廓。
2.5将得到的齿槽轮廓拉伸与齿胚求减，得到一个齿槽。
2.6将该齿槽进行环形阵列，阵列数目为齿数，角度间隔为360/z度，就建立了一个精确的齿轮。
3  齿轮建模实例
例如建立齿轮的齿数z为55，模数m为2，宽度为30，压力角为20度。
3.1使用41层作为工作图层，点击tools→expression，出现表达式输入对话框，输入下面的参数表达式。
z=55             齿轮齿数
m=2             模数
a=20             压力角
b=30             齿宽
r=m*z/2          齿轮分度圆半径
ra=r+m          齿轮齿顶圆半径
rb=r*cos(a)       齿轮基圆半径
rf=r-1.25*m       齿轮齿根圆半径
t=0              UG系统参数
c=90*t            c为临时变量
s=pi()*rb*t/2      s为临时变量
渐开线直角坐标方程为
xt=rb*cos(c)+s*sin(c)
yt=rb*sin(c)-s*cos(c)
zt=0
3.2点击规律曲线(law curve)，使用方程式(by equation)建立曲线，以下操作缺省即可，渐开线建立的参考点位于原点。屏幕出现90度范围内的一段渐开线，如图2所示。

图2  90度内的渐开线
3.3点击lines and arcs→circle center radius绘制齿顶圆、齿根圆、分度圆、基圆。如图3所示，由图知齿根圆大于基圆，在齿根圆与齿顶圆之间为渐开线。

图3  齿轮4个圆部分曲线
3.4使用1层作为工作图层点击拉伸(extrude)，以齿顶圆为拉伸曲线，拉伸高度为尺宽b，形成齿胚。
3.5修剪图3曲线，只留下齿根圆与齿顶圆之间的渐开线，点击edit→curve→trim修建曲线，隐藏基圆。点击lines and arcs→line point-point，连接坐标原点与渐开线和分度圆的交点建立一直线，使用edit→transform→rotate about a point，以坐标原点为参考点，旋转该直线-90/z度。使用edit→transform→mirror through a line镜像渐开线，如图4所示。
3.6隐藏分度圆和两条直线，点击edit→curve→trim修剪曲线成为齿槽轮廓线，如图5所示。
 
图4  镜像后图线         图5  齿槽轮廓线
3.7使用1层作为工作图层点击拉伸(extrude)，以齿槽轮廓线为拉伸曲线，拉伸高度为尺宽b，布尔运算为减，形成一个立体齿槽轮廓，如图6所示。

图6  立体齿槽轮廓
3.8 使用instance feature里的circular array，将齿槽阵列，阵列数目为齿数，角度间隔为360/z度，形成轮齿，如图7所示。
3.9在此基础上可以进行特征操作，例如形成图8所示的齿轮。

图7  齿轮

图8  加其它特征后的齿轮
4  结  论
使用了UG的表达式功能，通过修改表达式里的参数值，可以进行部分参数化的建立精确渐开线齿轮，为后续的有限元分析和数控加工奠定了坚实的基础。